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 Exposants

PUISSANCE D'UN NOMBRE RELATIF

1° Notation : an (n entier positif)

2 x 2 x 2 x 2 x 2 se note 25

Le nombre 32 soit 25 est une puissance de 2 ; 5 est l'exposant, on lit '2 exposant 5'

Définition: a désigne un nombre relatif quelconque et n un nombre entier positif.

 

pour n ≥ 2 a x a x a.........x a = an

(n facteurs égaux à 'a')
pour n = 1 a1 = a
convention: pour n = 0 et a ≠ 0

(00 n'existe pas)

 

 a0 = 1

 

remarques:

a) (-3)3 = (-3) x (-3) x (-3) = - 27

le nombre de facteurs négatifs est impair, le produit est négatif.

(-3)4 = (-3) x (-3) x (-3) x (-3) = 81

le nombre de facteurs négatifs est pair, le produit est positif.

b)

2° Notation a-n (n entier positif)

Définition: a désigne un nombre relatif NON NUL et n un nombre entier positif.

 

a-n désigne l'inverse de an  

(n facteurs égaux à a)
a-1 désigne l'inverse de a  

 

Exemples:

Exemples:

attention:

- 32 est l'opposé de 32 ; 32 = 9 et -32 = - 9 ; mais (-3)2 = (-3) x (-3) = 9 .

Ne pas confondre:

a x a = a2 et a + a = 2a

a x a x a = a3 et a + a + a = 3a

3-1 est l'inverse de 3 ; -3 est l'opposé de 3.

et se rappeler que:

2 + 32 = 2 + 9 = 11 ; 2 x 32 = 2 x 9 = 18 ;

(2 + 3)2 = 52 = 25 ; (2 x 3)2 = 62

 

 

Ainsi, si n est un entier naturel supérieur ou égal à un, on écrit :

a^n = \underbrace{a \times \cdots \times a}_{n \operatorname{facteurs}}

 

Cas particuliers

a^2=a\times a

est appelé le carré de a, car l'aire d'un carré de côté a est a^2.

a^3=a \times a \times a

est appelé le cube de a, car le volume d'un cube de côté a est a^3.

En outre, par convention :

\displaystyle a^1=a

et, si a est inversible (voir ci-dessous) :

\displaystyle a^0=1

Notons que :

bulletDans cette dernière convention 1 représente l'élément neutre pour la multiplication considérée.

Parmi les nombres réels, les éléments inversibles sont les éléments non nuls et l'inverse d'un nombre a est encore noté \frac1a.

Alors a^{-n} = \frac1{a^n} = \frac1{a\times ... \times a}

Théorèmes

Dans les théorèmes essentiels qui suivent a, b... désignent des éléments d'un même ensemble et tels qu'ils soient multipliables par eux-mêmes et multipliables entre eux, tandis que m,n... désignent (a priori) des entiers strictement positifs.

En outre a (ainsi que b dans le dernier théorème) doit être inversible, s'il intervient dans une puissance à exposant négatif.

Produit de puissances d'un même élément — 
a^{n+m} = a^n\times a^m
Quotient de puissances d'un même élément — Si a est inversible :
a^{n-m} = \dfrac{a^n}{a^m}
Puissance de puissance d'un élément — 
\left(a^n\right)^m = a^{n\times m}
Produit de deux éléments élevés à la même puissance (si le produit est commutatif) — 
(a\times b)^{n} = a^{n}\times b^{n}

 

 

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Dernière modification : 25 septembre 2015

Certaines phrases ne sont pas accentuées, cela n'est pas une faute d'orthographe mais un besoin de compatibilité www !!